Двоичный код

Любой элементный двоичный код (т—2) можно представить в виде n-мерного куба, в котором каждая вершина отображает кодовую комбинацию, а длина ребра куба соответствует одной единице ( 2.3). Каждой вершине куба приписывают кодовую комбинацию по следующему правилу: на г’-м месте кодовой комбинации ставится О, если проекция этой вершины на ;-ю ось координат равна 0, и 1, если проекция равна 1. Например, запишем кодовую комбинацию, соответствующую вершине /Ц. Проектируя эту вершину на ось х\, мы получим единицу, на втором и третьем местах комбинации запишутся нули, так как проекции на оси х2 и х3 равны нулю. Таким образом, вся комбинация в точке Л4 запишется, как 100. В таком кубе расстояние между вершинами (кодовыми комбинациями) измеряется минимальным числом ребер, находящихся между ними. Это расстояние обозначается буквой d и называется кодовым расстоянием.

Кодовое расстояние d между двумя кодовыми комбинациями может быть определено как число одноименных разрядов с отличающимися символами. Например, d между комбинациями 0101001 и 1100111 равно четырем. Кодовое расстояние характеризует свойство помехозащищенности кодов, оно показывает, насколько одна разрешенная комбинация удалена от другой. Чем больше d, тем труднее помехам исказить посланную комбинацию так, чтобы она превратилась в другую разрешенную комбинацию, т. е. чтобы было принято ложное сообщение.

Для характеристики помехозащищенности свойств кода в целом существует понятие минимального кодового расстояния dm„ — это минимальное расстояние между двумя парами кодовых комбинаций, входящих в данный код. Проанализируем связь между величинами dmm и помехозащитными свойствами на примере двоичного (т=2) трехразрядного (п = 3) кода. Если в этом коде использовать все восемь комбинаций в качестве разрешенных, то для этого кода dmin=l и такой код не обладает помехозащитными свойствами. При уменьшении числа разрешенных комбинаций с восьми до четырех появляется возможность обнаружения одиночных ошибок. Для того чтобы реализовать эту возможность, выберем в качестве разрешенных такие кодовые комбинации, чтобы dmin = 2, например 111, 100, 001, 010.

Если в процессе передачи произошла одиночная ошибка, т. е. исказился один знак, то это будет обнаружено на приемной стороне. В самом деле, пусть передается кодовая комбинация 100 и во время передачи 1 исказилась в 0 в первом разряде. Тогда будет принята запрещенная кодовая комбинация ООО, что говорит о наличии ошибки.

Таким образом видно, что построение помехоустойчивого кода связано с недоиспользованием кодовых комбинаций, т. е. избыточностью. Уменьшение числа комбинаций приводит к повышению помехоустойчивого кода. Если еще больше ограничить число разрешенных комбинаций, то можно не только обнаруживать, но и исправлять ошибки. Выберем в трехмерном кубе ( 2.3, а) вершины, которые находятся друг от друга на расстоянии трех ребер (dmm = 3), например А0 (ООО) и А7 (111)- Если в качестве разрешенных применять только эти две комбинации ООО и 111, то появляется возможность исправить одну ошибку или обнаружить две ошибки без возможности их исправления.

Статьи на близкие темы: